سبق 1ਜਾਰਡਨ ਦਾ ਲੈਮਾ ਅਤੇ ਗਾਇਬ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਚਾਪ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਅੰਦਾਜ਼ੇਅਸੀਂ ਜਾਰਡਨ ਦੇ ਲੈਮਾ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਸਾਧਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵੱਡੇ ਗੋਲ ਚਾਪਾਂ ਨੂੰ ਅਣਗੌਲ ਕਰਨ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਚਾਪਾਂ ਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਨੂੰ ਬੰਨ੍ਹਣਾ, ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅਨੁਪਾਤਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖੋਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ਲ ਫੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
Statement and intuition of Jordan’s lemmaApplying Jordan’s lemma to sine and cosineBounding integrals on large semicirclesFailure cases and alternative estimatesUsing exponential damping for convergenceسبق 2ਕੰਟੂਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ: ਕਈ ਕੰਟੂਰ ਭਾਗਾਂ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੇ ਯੋਗਦਾਨ ਨੂੰ ਹੈਂਡਲ ਕਰਨਾਇਹ ਭਾਗ ਵਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੰਟੂਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਕਈ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾਵੇ। ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ, ਸਮਮਿਤ ਕੰਟੂਰਾਂ ਅਤੇ ਕਟੌਫ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ।
Decomposing contour integrals into segmentsRelating line segments to real integralsPrincipal value integrals and indentationTaking limits of large radius and cutoffsSeparating real and imaginary partsسبق 3ਕੰਪਲੈਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਮੁੱਢਲੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ: ਉਡਿਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕੰਟੂਰ, ਕੌਸ਼ੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮ, ਕੰਟੂਰ ਵਿਗਾੜਅਸੀਂ ਰੈਸੀਡਿਊ ਕੈਲਕੂਲਸ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਫਰੇਮਵਰਕ ਦੀ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵਿਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਉਡਿਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕੰਟੂਰ, ਟੁਕੜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੋਥ ਪਾਥ, ਕੌਸ਼ੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮ, ਕੌਸ਼ੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਸ਼ਰਤਾਂ ਹੇਠ ਕੰਟੂਰ ਵਿਗਾੜ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
Oriented contours and parametrizationsCauchy’s integral theorem and corollariesCauchy’s integral formula for discsHomotopy and contour deformationPiecewise smooth paths and line integralsسبق 4ਰੈਸੀਡਿਊ ਵਰਤ ਕੇ ਅਸੰਪੂਰਨ ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ: ਚੁਪ-ਚੁਪ/ਵਿਸ਼ਮ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਅਤੇ x^n+1 ਤੇ x ਦੀਆਂ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਅਸੀਂ ਰੈਸੀਡਿਊ ਨੂੰ ਅਸੰਪੂਰਨ ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਬੇਸ਼ਕ ਚੁਪ-ਚੁਪ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡਾਂ ਅਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਧਿਆਨ x ਤੇ x^n+1 ਵਾਲੀਆਂ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਅਤੇ ਅਸਲ ਰੇਖਾ ਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਘਟਾਵਣ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
Even and odd integrands on the real lineRational integrals over (−∞,∞)Integrals involving 1∕(x^n+1)Use of periodicity and argument shiftsHandling integrals with parameter dependenceسبق 5ਰੈਸੀਡਿਊ ਹਿਸਾਬ ਕਰਨਾ: ਸਾਧਾਰਨ ਪੋਲਾਂ, ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਪੋਲਾਂ ਅਤੇ ਹੱਦਾਂ ਲਈ ਵਿਧੀਆਂਅਸੀਂ ਵਿਛੜੀਆਂ ਸਿੰਗੂਲੈਰਟੀਆਂ ਤੇ ਰੈਸੀਡਿਊ ਹਿਸਾਬ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਹਾਰਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਧਾਰਨ ਪੋਲਾਂ, ਡੈਰੀਵੇਟੀਵ ਰਾਹੀਂ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਪੋਲਾਂ, ਹੱਦ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਅਤੇ ਹੱਥੀ ਹਿਸਾਬ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਲਜ਼ੇਬ੍ਰਿਕ ਸਰਲੀਕਰਨਾਂ ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਹੈ।
Residue via limit for simple polesDerivative formula for higher-order polesLaurent series extraction of residuesAlgebraic partial fraction decompositionsResidues at infinity and change of variableسبق 6ਵਿਹਾਰਕ ਚੈੱਕਲਿਸਟ: ਕੰਟੂਰ ਚੋਣ, ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਵੈਰੀਫਾਈ, ਰੈਸੀਡਿਊ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣਾਇਹ ਭਾਗ ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੇ ਰੈਸੀਡਿਊ-ਅਧਾਰਤ ਮੁਲਾਂਕਣ ਲਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਚੈੱਕਲਿਸਟ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੰਟੂਰ ਚੋਣ, ਚਾਪਾਂ ਤੇ ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਵੈਰੀਫਾਈ ਕਰਨਾ, ਰੈਸੀਡਿਊ ਲੱਭਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜਨਾ, ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਹੈਂਡਲ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਅਸਲ ਰਾਸ਼ੀ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ ਕਵਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
Analyzing integrand growth and symmetrySelecting an appropriate contour familyIdentifying enclosed singularitiesSumming residues and scaling factorsExtracting real or imaginary parts correctlyسبق 7ਰੈਸੀਡਿਊ ਥਿਊਰਮ: ਬਿਆਨ, ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰੂਫ ਸਕੈਚਅਸੀਂ ਰੈਸੀਡਿਊ ਥਿਊਰਮ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਬਿਆਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਦੀਆਂ ਹਾਈਪੋਥੀਸਿਸਾਂ ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੰਟੂਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਅਤੇ ਕੌਸ਼ੀ ਥਿਊਰਮ ਵਰਤ ਕੇ ਪ੍ਰੂਫ ਸਕੈਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਸਿੰਗੂਲਰ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਗਲੋਬਲ ਬੈਲੰਸ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਹੈ।
Precise statement of the residue theoremHypotheses on domains and contoursConnection with Cauchy’s integral formulaProof sketch via contour subdivisionGeometric interpretation of residuesسبق 8ਕੰਟੂਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਸਿੰਗੂਲੈਰਟੀਆਂ ਦਾ ਵਰਗੀਕਰਣ: ਸਾਧਾਰਨ ਪੋਲ, ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਪੋਲ, ਰਿਮੂਵੇਬਲ, ਐਸੈਂਸ਼ਲਅਸੀਂ ਕੰਟੂਰ ਵਿਧੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਵਿਛੜੀਆਂ ਸਿੰਗੂਲੈਰਟੀਆਂ ਨੂੰ ਵਰਗੀਕਰਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਰਿਮੂਵੇਬਲ, ਪੋਲ ਅਤੇ ਐਸੈਂਸ਼ਲ ਸਿੰਗੂਲੈਰਟੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਸਾਧਾਰਨ ਅਤੇ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਪੋਲਾਂ ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਮੁਲਾਂਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਟੈਸਟਾਂ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
Definitions of isolated singularitiesRemovable singularities and analytic continuationSimple poles and residue interpretationHigher-order poles and local behaviorEssential singularities and examplesسبق 9[0,∞) ਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਕੰਟੂਰ ਚੋਣਾਂ: ਅਰਧ-ਵ੍ਰਿੱਤਾਂ, ਕੀਹੋਲ ਕੰਟੂਰ ਅਤੇ ਬ੍ਰਾਂਚ ਕਟਾਂ ਤੋਂ ਇੰਡੈਂਟੇਸ਼ਨਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਅੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਕੰਟੂਰ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉੱਪਰੀ ਅਤੇ ਹੇਠਲੀਆਂ ਅਰਧ-ਵ੍ਰਿੱਤਾਂ, ਬ੍ਰਾਂਚ ਕਟਾਂ ਤੋਂ ਚਾਰੇ ਪਾਸੇ ਕੀਹੋਲ ਕੰਟੂਰਾਂ ਅਤੇ ਸਿੰਗੂਲੈਰਟੀਆਂ ਨੇੜੇ ਛੋਟੀਆਂ ਇੰਡੈਂਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰ ਚੋਣ ਦੀ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀਤਾ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
Upper and lower semicircle contoursKeyhole contours around branch cutsIndentation near real-axis polesChoosing contour orientation and radiusCombining arcs and line segmentsسبق 10ਰੈਸ਼ਨਲ ਅਤੇ ਮੈਰੋਮੌਰਫਿਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡਾਂ ਲਈ ਪੋਲ ਲੱਭਣਾ ਅਤੇ ਵਰਗੀਕਰਣਇਹ ਭਾਗ ਵਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੈਸ਼ਨਲ ਅਤੇ ਮੈਰੋਮੌਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਿੰਗੂਲੈਰਟੀਆਂ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੇ ਪੋਲਾਂ ਜਾਂ ਰਿਮੂਵੇਬਲ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਅਲਜ਼ੇਬ੍ਰਿਕ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ, ਗੁਣਣਫਲ ਅਤੇ ਹਰ ਸਿੰਗੂਲਰ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
Finding poles from factored denominatorsMultiplicity and order of a poleChecking for removable singularitiesDetecting essential singularitiesPoles of trigonometric and exponential quotientsسبق 11ਕੰਮ ਕੀਤੇ ਪੈਟਰਨ: ∫0^∞ x^m/(x^n+1) dx ਪਰਿਵਾਰ — ਪੋਲ ਚੋਣ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਚਾਲਾਂਅਸੀਂ ∫0^∞ x^m/(x^n+1) dx ਫਾਰਮ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਪੈਟਰਨ ਵਿਕਸਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵਿਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਤੇ ਪੋਲ ਸਥਾਨ, ਰੈਸੀਡਿਊ ਚੋਣ, ਸਮਮਿਤੀ ਚਾਲਾਂ ਅਤੇ ਅਨੁਕੂਲਤਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
Locating nth roots of −1 in the complex planeChoosing semicircle versus keyhole contoursSelecting which poles lie inside the contourResidue computation for x^m/(x^n+1)Convergence conditions on m and n
