دورة نظرية المجموعات

الدرس 1 • وصف المجموعات رسميًا

يغطي ترميز التعداد، وترميز بناء المجموعة، وترميز الفترات. يكتسب الطلاب القدرة على التعبير عن أي مجموعة بدقة بعدة صيغ مكافئة.

الدرس 2 • المجموعات الجزئية والمجموعات الشاملة

يقدم علاقات المجموعة الجزئية والمجموعة الجزئية الحقيقية والمجموعة الشاملة مع رموزها. يؤسس بنية الترتيب الجزئي التي تدعم العمل اللاحق على الشبكات ومجموعة القوى.

الدرس 3 • مجموعة القوى

يعرّف مجموعة القوى ويشتق صيغة عدد عناصرها. يهيئ الطلاب للاستدلال التوافقي والعمل اللاحق على عوائل المجموعات.

الدرس 4 • المجموعة الشاملة والمكمل

يقدم المجموعة الشاملة كمجال يعتمد على السياق ويعرّف المكمل المطلق. يربط بالاستدلال باستخدام مخططات فن المقدم في القسم التالي.

الدرس 1 • الاتحاد والتقاطع

يعرّف عمليتي الاتحاد والتقاطع عمليًا ومن خلال صيغة بناء المجموعة. يشكل جوهر الحساب لجميع أعمال التعبير عن المجموعات اللاحقة.

الدرس 2 • القوانين الجبرية لعمليات المجموعات

يقدم قوانين الإبدال والتجميع والتوزيع والامتصاص. يطبق الطلاب هذه القوانين لتبسيط عبارات المجموعات متعددة العمليات.

الدرس 3 • قوانين دي مورجان

يشتق قوانين دي مورجان لمكمل الاتحاد والتقاطع. يستخدم الطلاب هذه القوانين لتحويل وتبسيط عبارات المجموعات المنفية.

الدرس 4 • برهان هويات المجموعات

يعلم أساليب تتبع العنصر والتعويض الجبري ومخططات فن للبراهين. يختار الطلاب استراتيجية البرهان الأكثر كفاءة لهوية معينة.

الدرس 1 • الجداءات الكارتيزية

يعرّف الأزواج المرتبة والجداء الكارتيزي لمجموعتين أو أكثر. يؤسس الأساس النظري للمجموعات الذي تبنى عليه جميع العلاقات.

الدرس 2 • خصائص العلاقات الثنائية

يغطي الانعكاسية والتناظرية وعدم التناظرية والتعدية مع تعريفات رسمية. يختبر الطلاب ما إذا كانت علاقة معينة تحقق كل خاصية.

الدرس 3 • العلاقات الثنائية المعرفة

يصوغ العلاقة رسميًا كمجموعة جزئية من جداء كارتيزي ويقدم المجال والمدى والحقل. يمثل الطلاب العلاقات كمجموعات ومصفوفات ورسوم بيانية موجهة.

الدرس 4 • علاقات التكافؤ

يعرّف علاقات التكافؤ ويشتق صفوف التكافؤ والمجموعات الخارج قسمة. يجزيء الطلاب مجموعة باستخدام علاقة تكافؤ ويتحققون من بديهيات التجزئة.

الدرس 1 • الصورة والصورة العكسية للمجموعات

يعرّف عاملي الصورة المباشرة والصورة العكسية ويشتق تفاعلهما مع عمليات المجموعات. يطبق الطلاب هذين العاملين لتحليل سلوك الدالة على المجموعات الجزئية.

الدرس 2 • الدوال العكسية

يحدد شروط وجود عكس أيسر أو أيمن أو عكس ثنائي لدالة. يبني الطلاب دوالًا عكسية ويتحققون منها باستخدام التركيب.

الدرس 3 • الدوال الحقنية والغطية والتباينية

يعرّف الأنواع الثلاثة للدوال رسميًا ويقدم أساليب برهان لكل منها. يصنف الطلاب الدوال ويبنون أمثلة مضادة لدحض خاصية ما.

الدرس 4 • الدوال المعرفة عبر العلاقات

يعرّف الدالة كعلاقة تحقق شرطي الوجود والوحدانية. يربط النظرة العلائقية بنموذج المدخلات-المخرجات المألوف.

الدرس 1 • المجموعات القابلة للعد بلا نهاية

يعرّف اللانهاية القابلة للعد ويثبت أن الأعداد الصحيحة والنسبية قابلة للعد. يبني الطلاب تطبيقات تباينية صريحة إلى الأعداد الطبيعية.

الدرس 2 • نظرية كانتور-شرودر-بيرنشتاين

ينص ويثبت نظرية كانتور-شرودر-بيرنشتاين لمقارنة الأعداد الكاردينالية غير المنتهية. يستخدمها الطلاب لتحديد تساوي الأعداد الكاردينالية دون تطبيق تبايني صريح.

الدرس 3 • أساسيات الحساب الكاردينالي

يعرّف جمع وضرب الأعداد الكاردينالية ويشتق الهويات الرئيسية. يحسب الطلاب أعداد عناصر الاتحادات والجداءات ومجموعات القوى.

الدرس 4 • المجموعات غير القابلة للعد

يقدم جدل كانتور القطري لإثبات أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. يطبق الطلاب التقنية القطرية على مجموعات أخرى ويدركون أهميتها الأوسع.

الدرس 1 • بديهيتا الفصل ومجموعة القوى

يقدم مخطط بديهية الفصل وبديهية مجموعة القوى. يطبق الطلاب بديهية الفصل لتكوين مجموعات جزئية بأمان ويبررون وجود مجموعة القوى.

الدرس 2 • بديهيتا اللانهاية والتعويض

يقدم بديهية اللانهاية لضمان وجود مجموعات غير منتهية ومخطط بديهية التعويض. يبني الطلاب الأعداد الطبيعية داخل ZFC باستخدام هذه البديهيات.

الدرس 3 • لماذا البديهيات ضرورية

يحفز نظرية المجموعات البديهية من خلال مفارقة راسل وفشل نظرية المجموعات الساذجة. يفهم الطلاب كيف تمنع البديهيات التناقضات وتحد من تكوين المجموعات.

الدرس 4 • بديهية الاختيار ومكافئاتها

ينص بديهية الاختيار ويقدم مكافئاتها الرئيسية: لمة زورن ونظرية الترتيب الجيد. يتعرف الطلاب على أين يُستخدم الاختيار في البراهين القياسية.

الدرس 1 • مقارنة الأعداد الترتيبية والكاردينالية

يميز بين الأعداد الترتيبية الأولية كأعداد كاردينالية ويقدم ترميز أليف. يرسم الطلاب خريطة بين المنظورين الترتيبي والكاردينالي لنفس المجموعة غير المنتهية.

الدرس 2 • المجموعات المرتبة جيدًا

يعرّف الترتيب الجيد ويثبت أن كل مجموعة جزئية غير خالية لها عنصر أصغر. يتحقق الطلاب من الترتيب الجيد للأمثلة القياسية ويبنون أمثلة مضادة.

الدرس 3 • الحساب الترتيبي

يعرّف جمع وضرب ورفع الأعداد الترتيبية للأس ويسلط الضوء على عدم الإبدال. يحسب الطلاب العبارات الترتيبية ويقارنون النتائج بالحساب الكاردينالي.

الدرس 4 • الاستقراء التجاوزي والاستدعاء التجاوزي

يوسع الاستقراء الرياضي ليشمل جميع الأعداد الترتيبية من خلال مبدأ الاستقراء التجاوزي. يثبت الطلاب خصائص الأعداد الترتيبية ويعرفون الدوال بالاستدعاء التجاوزي.

الدرس 1 • بديهيات الأعداد الكبيرة

يستعرض الأعداد غير المتناولة والقابلة للقياس والفائقة الضغط كامتدادات تتجاوز ZFC. يقيم الطلاب تدرج قوة الاتساق لبديهيات الأعداد الكبيرة.

الدرس 2 • فرضية الاستمرار

ينص فرضية الاستمرار وصيغتها المعممة ويشرح سياقها التاريخي. يفهم الطلاب معنى كون عبارة مستقلة عن ZFC.

الدرس 3 • الكون القابل للبناء والإجبار

يقدم كون جودل القابل للبناء L وتقنية الإجبار لكوهين على المستوى المفاهيمي. يستوعب الطلاب كيف تُبنى نماذج جديدة لنظرية المجموعات لاختبار الاستقلال.

الدرس 4 • مسائل مفتوحة في نظرية المجموعات

يستعرض مسائل غير محلولة تشمل أسئلة الخصائص الكاردينالية والحتمية. يربط الطلاب المسائل المفتوحة بالأدوات البديهية والتوافقية التي أتقنوها سابقًا.