دورة حساب التفاضل والتكامل التصادفي

الدرس 1 • أساسيات نظرية غيرسانوف: مشتق رادون-نيكوديم، حدس تغيير القياس، وشروط التطبيق

يقدم هذا القسم نظرية غيرسانوف لحركة براون، مشتق رادون-نيكوديم، وتغييرات الدرفت. نناقش شروط نوع نوفيكوف ونوضح تغييرات القياس المحايد للمخاطر في نماذج تسعير الأصول الأساسية.

الدرس 2 • حل معادلات التفاضل العشوائي الخطية: عوامل التكامل والحلول الصريحة للصيغ الشائعة

نحل معادلات التفاضل العشوائي الخطية باستخدام عوامل التكامل وتغيير الثوابت. التركيز على الحلول الصريحة، التميز، والأمثلة ذات الصلة بأسعار الأصول وديناميكيات معدلات الفائدة.

الدرس 3 • بناء التكامل إيتو والإيزومترية: التعريفات، التقارب، والأمثلة

نبني التكامل إيتو من العمليات البسيطة، نثبت إيزومترية إيتو، ونحلل التقارب في L2. يؤكد القسم على الحدس، الأمثلة، وكيفية دعم هذه الأدوات النماذج العشوائية المستخدمة في التمويل.

الدرس 4 • أساسيات الاحتمال وحركة براون: التصفية، الزيادات، التوسع، وخصائص المسار

يراجع هذا القسم أدوات الاحتمالات وحركة براون اللازمة لحساب التفاضل العشوائي. تشمل المواضيع التصفيات، الزيادات المستقلة، التوسع، استمرارية المسارات، وخصائص مارتينغال الأساسية المستخدمة في نمذجة الأصول.

الدرس 1 • صياغة معادلة التفاضل العشوائي لحركة براون الهندسية والتفسير الاقتصادي للمعاملات ميو، سيغما، وW_t

نقدم معادلة التفاضل العشوائي لحركة براون الهندسية، نفسر الدرفت والتقلب اقتصادياً، ونوضح دور حركة براون. يربط القسم المعاملات بالنمو المتوقع، المخاطر، وحجج عدم التحكيم في تسعير الأصول في الزمن المستمر.

الدرس 2 • الخصائص المسارية والاحتمالية: حالة مارتينغال، الانفجار، وشروط التكامل

نحلل مسارات حركة براون الهندسية، الاستمرارية، والتغير، وندرس خصائص مارتينغال تحت قياسات مختلفة. يغطي القسم عدم الانفجار، التكامل، والشروط التي تضمن توقعات و لحظات متناهية.

الدرس 3 • الخصائص التوزيعية لـ S_T: قانون اللوغاريتمي الطبيعي، اللحظات، والنسب المئوية

ندرس التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي للأسعار النهائية، نحسب اللحظات، ونربط المعاملات بالكميات والنسب المئوية. يركز على القياسات المحايدة للمخاطر مقابل الفعلية والتأثيرات على التسعير ومقاييس المخاطر.

الدرس 4 • تقدير المعاملات والمعايرة الواقعية: التقلب التاريخي، أساسيات التقلب المستتر، واختيار معدل الفائدة الخالي من المخاطر

نناقش تقدير معاملات حركة براون الهندسية من البيانات، بما في ذلك التقلب التاريخي والدرفت، أساسيات التقلب المستتر من أسعار الخيارات، والخيارات العملية لمعدل الفائدة الخالي من المخاطر في الأسواق والآجال المختلفة.

الدرس 1 • مبدأ التسعير المحايد للمخاطر: شرط مارتينغال سعر الأصل المخصوم

يصيغ هذا القسم مبدأ التسعير المحايد للمخاطر. نظهر أن الأسعار القابلة للتداول المخصومة يجب أن تكون مارتينغال تحت القياس المحايد للمخاطر ونشتق صيغ التسعير باستخدام التوقعات الشرطية واستراتيجيات التمويل الذاتي.

الدرس 2 • قيود تغيير القياس: عدم اكتمال السوق، افتراضات النموذج، وعدم نجاح غيرسانوف

نحلل متى تفشل تقنيات تغيير القياس. تشمل المواضيع الأسواق غير الكاملة، التقلب العشوائي، القفزات، خطأ النموذج، وفشل شروط غيرسانوف التقني، مع التأثيرات على ممارسة التسعير والتحوط.

الدرس 3 • توقعات التسعير تحت Q: صيغ للتوقعات المتوقعة المخصومة وطرق الحوسبة العملية

نطور صيغ تسعير صريحة تحت القياس المحايد للمخاطر. التركيز على التوقعات المتوقعة المخصومة، تكاملات بلاك-شولز، التكامل العددي، محاكاة مونتي كارلو، وتقليل التباين للحوسبة الفعالة.

الدرس 4 • معادلة التفاضل العشوائي المحايدة للمخاطر لـ S_t وتحديد مصطلح الدرفت الجديد

نشتق معادلة التفاضل العشوائي المحايدة للمخاطر لسعر الأصل ونحدد الدرفت الجديد. التركيز على دور معدل الفائدة القصير، هيكل التقلب، والتصفية، وتفسير حركة براون المحولة تحت القياس المحايد للمخاطر.

الدرس 1 • الخطوات الحسابية لحساب سعر عددي: إدخال S0، sigma، r، T، K في الصيغة ومشكلات الثبات العددي

يحدد هذا القسم الخطوات الحسابية لتقييم سعر خيار بلاك-شولز الشرائي عددياً من مدخلات السوق، مع التركيز على اتساق الوحدات، حساب d1 وd2 بثبات، تقييم CDF الطبيعي بثبات، ومعالجة الحالات الحدودية مثل الإضرابات أو الآجال المتطرفة.

الدرس 2 • خصائص التوزيع الطبيعي القياسي المستخدمة في الاشتقاق: CDF، توليد اللحظات، وتغيير المتغيرات

نراجع خصائص التوزيع الطبيعي القياسي المستخدمة في اشتقاقات بلاك-شولز، بما في ذلك التماثل، سلوك الذيل، تغيير المتغيرات إلى الصيغة اللوغاريتمية الطبيعية، وجوانب دالة توليد اللحظات ذات الصلة بالتسعير المحايد للمخاطر والتوقعات.

الدرس 3 • الحصول على بيانات عملية للمدخلات: كيفية العثور على سعر السهم الحالي S0، تقديرات التقلب السنوي، وعوائد سندات الخزانة قصيرة الأجل (ما تبحث عنه والمصادر الموثوقة)

يشرح هذا القسم كيفية الحصول على بيانات السوق الحقيقية ومعالجتها مسبقاً لمدخلات بلاك-شولز، بما في ذلك الأسعار الفورية، معدلات الفائدة الخالية من المخاطر، وتقديرات التقلب، مع إرشادات حول تكرار البيانات، التنظيف، وتقييم موثوقية المزودين.

الدرس 4 • اشتقاق معادلة التفاضل التفاضلية بلاك-شولز من الديناميكيات المحايدة للمخاطر وتمثيل فايnman-كاك

هنا نشتق معادلة التفاضل التفاضلية بلاك-شولز من معادلة التفاضل العشوائي المحايدة للمخاطر باستخدام التحوط دلتا وعدم التحكيم، ثم نربط حل المعادلة بالتوقع المحايد للمخاطر عبر نظرية فايnman-كاك، مع توضيح الافتراضات والشروط الحدودية.

الدرس 1 • حساب دلتا لخيار شرائي أوروبي تحت بلاك-شولز: الصيغة التحليلية والتفسير الاقتصادي

نشتق دلتا بلاك-شولز لخيار شرائي أوروبي، نفسرها كنسبة تحوط، ونربطها باحتمالات محايدة للمخاطر. التركيز على الحدس، الحالات الحدية، وسلوك دلتا عبر درجة النقود والزمن حتى الاستحقاق.

الدرس 2 • مخطط أمثلة البرمجة: خطوات كود شبه لتسعير مونتي كارلو وللحساب المباشر بلاك-شولز

يحدد هذا القسم كود شبه لتسعير خيار شرائي أوروبي باستخدام محاكاة مونتي كارلو والصيغة المغلقة بلاك-شولز. سترى الخوارزميات خطوة بخطوة، معايرة المدخلات، وكيفية هيكلة الدوال القابلة لإعادة الاستخدام للتوسعات اللاحقة.

الدرس 3 • طرق الفرق المنتهي ومونتي كارلو لحساب الأسعار واليونانيات عند عدم وجود صيغة مغلقة

يقدم هذا القسم طرق الفرق المنتهي ومونتي كارلو للتسعير وحساب اليونانيات عند عدم وجود صيغة مغلقة. ستتعلم بناء الشبكات، اليونانيات المسارية ونسبة الاحتمالية، وتجارة التوازن بين الدقة والتكلفة.

الدرس 4 • نظرة عامة على اليونانيات الرئيسية الأخرى: غاما، فيغا، ثيتا، رو وصيغ مختصرة

نراجع اليونانيات الرئيسية خارج دلتا: غاما، فيغا، ثيتا، رو. يقدم القسم صيغ بلاك-شولز، الأدوار الاقتصادية في التحوط وإدارة المخاطر، والسلوك النوعي مع التقلب والزمن.

الدرس 1 • نظرة عامة على نماذج التقلب العشوائي: إعداد نموذج هيستون، الحدس، والتأثيرات على تسعير الخيارات

يقدم هذا القسم نماذج التقلب العشوائي مع التأكيد على إطار هيستون. ستتعلم نظام معادلات التفاضل العشوائي، أدوار المعاملات، الحدس لديناميكيات التباين، وكيف يغير التقلب العشوائي أسعار الخيارات وسطوح المستترة.

الدرس 2 • نظرة عامة على نماذج الانصهار القفزي: معادلة التفاضل العشوائي للانصهار القفزي ميرتون، شدة القفز، والتأثير على الذيول

يقدم هذا القسم نماذج الانصهار القفزي التي تغني حركة براون الهندسية بحركات غير مستمرة. ستدرس معادلة التفاضل العشوائي لميرتون، شدة القفز وحجم التوزيعات، وكيف تؤثر القفزات على ذيول العوائد، الانحراف، وأسعار الخيارات.

الدرس 3 • إرشادات عملية للتواصل حول افتراضات النموذج وقيوده لأصحاب المصلحة غير التقنيين

يركز هذا القسم على شرح افتراضات النموذج، النطاق، والمخاطر للجمهور غير التقني. ستتعلم صياغة عدم اليقين، مناقشة القيود، وتوثيق خيارات النموذج بوضوح للسياقات التنظيمية والحوكمة.

الدرس 4 • التأثيرات المقارنة للتسعير وإدارة المخاطر: متى تفضل SV أو القفزات والتوازنات في القابلية للحل

يقارن هذا القسم توسعات التقلب العشوائي والانصهار القفزي للتسعير والمخاطر. ستحلل متى يكون كل مفضل، كيف يختلفان في المعايرة، القابلية للحل، والتحوط، وكيف تجمع الهجين قوتهما.